ガウス積分

　ガウス積分は数理統計学や統計物理学等に良く出てくる積分量で

（１）

となるものである。以下ではこれを導いてみる。

導出

　まず として、この二乗を考える。ここで一つ目と二つ目の積分で積分変数を変えてある。定積分において積分変数は自由に変えても問題無かったからだ。

（２）

となる。これを（平面における）極座標系に書き換える。（問）極座標系へ積分変数と積分範囲を書き換えよ。この様にせずに普通に２乗を計算してもうまく積分できない。

（３）

となる。さらに r ² = u と置けば（置換積分する）、

（４）

となり求まった。

もう一歩進んで

　ここでは統計物理学などで良く出る積分

（５）

について考えます。ただし n =1,2,3… とする。部分積分を繰り返しても求めることは出来ますが、（１）式の両辺をパラメター a について微分する事で求めたいと思います。（１）式の両辺を１回微分すると

（６）

となるのでこれを整理して

（７）

が得られます。統計物理学などでこの（７）式を必要とする計算が現れます。さらに n 回微分を考えると

（８）

を導く事が出来ます。（問）最後の等式を数学的帰納法で証明せよ。

ちなみに

関連項目

置換積分｜重積分｜座標変換｜ボルツマン因子