: 8 群数列(無し) : 数学の基礎 : 6 階差数列(無し)
級数とは数列の和の事。
等差数列の和の公式は高校の数学で出てきてそれっきり忘れてしまっているかもしれない。しかし、簡単に導く事が出来るのでここでやってみる。
等差数列の一般項は初項を a 、公差を d とすると
| an = a + (n - 1)d |
のように表される。そして数列の和
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を２通りに並べて書いてやります。一つ目は第１項目から、二つ目は第 n 項目からから書いてそれぞれの項を下の様に足してやります。
| S = | a | + | a + d | + | … | + | a + (n - 2)d | + | a + (n - 1)d |
| +) S = | a + (n - 1)d | + | a + (n - 2)d | + | … | + | a + d | + | a |
| 2S = | 2a + (n - 1)d | + | 2a + (n - 1)d | + | … | + | 2a + (n - 1)d | + | 2a + (n - 1)d |
すると右辺には 2a + (n - 1)d が n 個現れる。よってこの数列の和は
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となります。また、末項を l （小文字のエル）とすると
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とも表せます。
これも上でやった事と似たような考え方で求める事が出来ます。今度は r 倍した物を考えて引き算をしてやります。すると真ん中の項はみんな消えてしまいます。
| S = | a | + | ar | + | ar 2 | + | … | + | ar n - 2 | + | ar n - 1 | ||
| -) rS = | ar | + | ar 2 | + | … | + | ar n - 2 | + | ar n - 1 | + | ar n | ||
| (1 - r )S = | a | + | 0 | + | 0 | + | … | + | 0 | + | 0 | - | ar n |
という事で 
ならば
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となり、和が求まりました。（問）r = 1 の時の和はどうなるか。また、|r | < 1 の時には無限等比級数は
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となる。（問）この事を示せ。
n_U-ki 平成17年9月14日