変数分離形微分方程式

解法

　変数分離型の方程式は

（１）

のように左辺は未知関数の導関数で、右辺は独立変数だけの関数と、未知関数だけの関数の積の形で表される。これを

(1 / g (y ))dy / dx = ƒ (x )

（２）

と変形して、この両辺を x で積分してやると

（３）

となる。左辺を置換積分してやれば

∫(1 / g (y ))dy = ∫ƒ (x )dx

（４）

となり、この方程式は解けた事になる。更にこの積分を実行して、できれば y について解いてやりたいが必ずしもそのように出来るとは限らない。

　形式的には（１）の方程式を

dy / g (y ) = ƒ (x )dx

のように変形して両辺に ∫ を付けてやったのと同じことになる。

例題

　これは（１）式に ƒ (x ) = e ^x 、g (y ) = 1 を代入したものと見ることができる。よって、上でやったことに倣って以下のようにできる。

∫dy = ∫e xdx

これを積分してやれば

y = e x + C

となり、これがこの微分方程式の一般解である。ここで C は積分定数である。