摩擦を受ける物体の運動

　空気中を速度 v で動く物体は |v | が小さい時には速度に比例した摩擦力 -μv を受けます。また、|v | が大きいと -κv ² に比例した摩擦力が働くようになります。この時のそれぞれの運動方程式を解き、物体に速度の時間変化を調べます。

　この様な運動は雨粒が落下してくる時の運動に見られます。摩擦力がこのようになる仕組みついては流体力学を参照して下さい。

　まず、この時の運動方程式は落下する方向を z 軸とすると

（１）

となる。 と置いて、両辺を m で割れば

（２）

ところで なので

（３）

これは変数分離形の微分方程式である。変数分離して

（４）

両辺を積分すれば

（５）

ここで C は任意定数で初期条件を与えれば一意的に定まる。整理して

（６）

より対数の中身を抜き出して

（７）

両辺を 乗して絶対値を外すと

（８）

を改めて C と置き、 について整理すると

（９）

となる。また、（９）式において の極限を取ると終端速度は

（10）

となる。