B. 積分変換

ある関数$f(x)$に対して、積分を用いて次のような変換を考える。

$$g(t) = \int_a^b K(x,t) f(x) dx$$ (58)

このような変換を一般に積分変換と呼び、$K(x,t)$をこの核 (kernel)と呼ぶ。核に選ぶ関数によって様々な特性を持った変換が実現できる。

B..1 Fourier変換

核$K(x,t)$として $e^{-i \omega t}$を選ぶとFourier変換となる。

B..2 Fourier変換の性質

B..3 離散Fourier変換

B..4 ラプラス変換

核$K(x,t)$として$e^{-st}$を選ぶとラプラス変換となる。

B..5 z変換

z変換は離散群上でのラプラス変換とも呼ばれるもので、 ローラン展開をベースにした関数空間の間の線形作用素である。

両側z変換

$$Z[x_n ] = X(z) = \sum_{n=-\infty }^{\infty } x_n z^{-n}$$ (59)

片側z変換

$$Z[x_n ] = X(z) = \sum_{n=0 }^{\infty } x_n z^{-n}$$ (60)