ここでは古典的な調和振動子について詳しく調べる。
バネを水平に置いて振動させる。
バネ定数をk とする。バネの自然長からの変位をx とし、dx / dt = v 、dv / dt = d 2x / dt 2 = a とすると、
| 運動エネルギー | T = (1 / 2)mv 2 |
| ポテンシャルエネルギー | V = (1 / 2)kx 2 |
となるので（←単振動のポテンシャルが (1 / 2)kx 2 と書ける理由）ラグランジアンは
| L = T - V = (1 / 2)mv 2 - (1 / 2)kx 2 | （１） |
となる。これをラグランジュ方程式 d / dt (∂L / ∂v ) - ∂L / ∂x = 0 に代入すると
| ma + kx = 0 | （２） |
となり、よく知っているニュートンの運動方程式に一致した。
上で得られた運動方程式を時間 t で積分する事を考える。そのために（２）式の両辺にv をかけると
| mva + kvx = 0 | （３） |
となる。これを時間 t で積分すると
| (1 / 2)mv 2 + (1 / 2)kx 2 = E | （４） |
となる事が解るだろうか?（自分は言われるまで気付かなかった）ここで E はエネルギーである。この積分が中々思いつかないかもしれないので微分してみよう。
となり確かに合っている事が確認できる。このように運動方程式を時間で積分する事をエネルギー積分と言い、またこの式はエネルギー保存則を表す式となっている。（→運動の積分）
エネルギー保存の式からいくつか分かる事があるが、その一つとして運動の範囲が分かる。（４）式でポテンシャルを移項して
| (1 / 2)mv 2 = E - (1 / 2)kx 2 | （５） |
とすると、左辺は正である。（もしこれが負になるとすれば、速度 v が虚数の値を取るか、質量 m が負の値を取るしかない！）これを満たす x の範囲は
| - (2E / k )1 / 2 < x < (2E / k )1 / 2 |
となる。これを簡単に x 1 < x < x 2 と表す。まず、（５）式（（４）式でもよいが）をv について整理すると
| v = [(2 / m )(E - (1 / 2)kx 2)]1 / 2 | （６） |
となる。ここで v = dx / dt であるので（←変数分離形）両辺を時間 t で積分すると
(1 / 2)∫
|
（７） |
となるのであとは積分さえできれば良いことになる。ここで、１周期とは x 1 から x 2 にいってさらに逆の過程をたどって x 1 に戻ってくる時間であるので（７）式の右辺の積分は半周期に相当する。左辺の係数はそういった事情から出ている。この積分は x = (2E / k )1 / 2sinθ として置換積分する。
これから k = mω 2 （↓ k と ω の関係）を使えば
となり周期が求まった。
（６）式で k = mω 2 を代入して整理すると・・・
（２）式からこの運動は二階の微分方程式として記述できる事が解る（←定数係数線形微分方程式）。この式を書き直すと
| d 2x / dt 2 = - (k / m ) x | （８） |
と書ける。ここで (k / m ) = ω 2 とおくと、この方程式の基本解は cosωt , sinωt の２つだと言えるのでこの方程式の一般解は
| x (t ) = A cosωt + B sinωt | （A,B は任意定数） |
あるいは、三角関数の公式を使って合成すれば
| x (t ) = A sin(ωt + δ ) | （A,δ は任意定数） |
←単振動のポテンシャルが (1 / 2)kx 2 と書ける理由
←変数分離形微分方程式
←定数係数線形微分方程式
→運動の積分
→調和振動子（量子力学）